La integral es la operación inversa de la derivada. Sirve para calcular áreas, volúmenes, posiciones a partir de velocidades, trabajos físicos y muchísimo más. En esta guía vas a ver qué es, los dos tipos principales (indefinida y definida) y cómo resolverlas con la regla de la potencia.
¿Qué es una integral?
Integrar es lo contrario de derivar. Si F es la integral de f, entonces F' es igual a f. Es decir, F es una antiderivada de f. La integral se escribe con un símbolo alargado ∫ y un "dx" al final que indica con respecto a qué variable se integra.
∫ f(x) dx = F(x) + C donde F'(x) = f(x)
La C al final es la "constante de integración". Como la derivada de cualquier constante es cero, al integrar no podemos saber qué constante había originalmente: podría ser cualquier número. Por eso se escribe +C.
Integral indefinida
Es la integral "en general", sin límites. Devuelve una familia de funciones (todas las antiderivadas). Por ejemplo:
∫ 2x dx = x² + C
Porque la derivada de x² es 2x. Pero también la derivada de x² + 5 es 2x, y la de x² − 100. Por eso la respuesta genérica incluye +C.
Regla de la potencia para integrar
Es la regla más útil. Para integrar un término a·xⁿ, sumás 1 al exponente y dividís por el nuevo exponente.
∫ a·xⁿ dx = a·xⁿ⁺¹ / (n+1) + C (para n ≠ −1)
Aplicar la regla de la potencia
∫ x² dx = x³ / 3 + C ∫ 5x⁴ dx = 5·x⁵/5 + C = x⁵ + C ∫ 3 dx = 3x + C (porque 3 = 3·x⁰) ∫ x dx = x²/2 + CIntegral de una suma
Al igual que con la derivada, se integra término a término. No hay que aprenderse reglas nuevas: aplicás la regla de la potencia a cada término y sumás.
Integrar un polinomio completo
f(x) = 6x² + 4x − 3 ∫ 6x² dx = 6·x³/3 = 2x³ ∫ 4x dx = 4·x²/2 = 2x² ∫ (−3) dx = −3x Resultado: ∫ f(x) dx = 2x³ + 2x² − 3x + CIntegral definida
La integral definida se evalúa entre dos límites a y b. Geométricamente representa el área bajo la curva de f entre esos dos valores (positiva si f está arriba del eje, negativa si está abajo).
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
Acá F es la antiderivada de f. El procedimiento es: (1) hallás F, (2) la evaluás en b y en a, (3) restás. No se incluye +C porque se cancela al restar.
Calcular una integral definida
∫₀² (3x² + 2x − 5) dx Paso 1: antiderivada F(x) = x³ + x² − 5x Paso 2: F(2) = 8 + 4 − 10 = 2 Paso 3: F(0) = 0 + 0 − 0 = 0 Resultado: F(2) − F(0) = 2 − 0 = 2Teorema fundamental del cálculo
Este teorema conecta derivación e integración y dice básicamente que son operaciones inversas. Tiene dos partes:
- Si F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, entonces F'(x) = f(x). Es decir, la derivada de una integral con límite variable es la función integrada.
- ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), donde F es cualquier antiderivada de f. Esto es lo que usamos para calcular áreas.
Gracias a este teorema, calcular áreas bajo curvas (que antes era un problema difícil) se reduce a hallar una antiderivada y evaluar.
Interpretación geométrica: área bajo la curva
La integral definida ∫ₐᵇ f(x) dx representa el área "con signo" entre la curva y el eje x, desde a hasta b. Si f es positiva, suma; si es negativa, resta. Para calcular el área "geométrica" (siempre positiva) hay que integrar el valor absoluto de f.
Área bajo y = x² entre 0 y 3
∫₀³ x² dx = [x³/3]₀³ = 3³/3 − 0³/3 = 27/3 − 0 = 9 El área bajo la parábola entre x = 0 y x = 3 es 9 unidades cuadradas.Aplicaciones de la integral
- Áreas: entre una curva y el eje, o entre dos curvas.
- Volúmenes: de sólidos de revolución (método del disco).
- Posición: a partir de la velocidad: s(t) = ∫ v(t) dt.
- Trabajo físico: W = ∫ F(x) dx.
- Probabilidad: la integral de la densidad da la probabilidad de un intervalo.
- Longitud de arco: L = ∫ √(1 + (f')²) dx.
La integral es la herramienta universal para acumular
Cada vez que una magnitud se acumula a partir de una tasa (distancia a partir de velocidad, costo a partir de costo marginal, masa a partir de densidad), hay una integral. Es el lenguaje matemático del "cuánto se juntó en total".
Propiedades útiles de la integral
- Linealidad: ∫ (f + g) dx = ∫ f dx + ∫ g dx, y ∫ k·f dx = k·∫ f dx.
- Integral en el mismo punto: ∫ₐᵃ f(x) dx = 0.
- Inversión de límites: ∫ₐᵇ = −∫bₐ.
- Suma de intervalos: ∫ₐᶜ = ∫ₐᵇ + ∫bc.
- Acotación: si f ≤ g en [a,b], entonces ∫ₐᵇ f ≤ ∫ₐᵇ g.
Errores comunes al integrar
- Olvidar la constante +C en la integral indefinida.
- Aplicar la regla de la potencia a x⁻¹ (debería dar ln|x|).
- Olvidar dividir por el nuevo exponente.
- En la integral definida, olvidar cambiar el signo al evaluar F(b) − F(a).
Resumen
La integral es la operación inversa de la derivada. La integral indefinida da una familia de antiderivadas y termina con +C; la definida da un número que representa el área bajo la curva entre dos límites. La regla fundamental es ∫ a·xⁿ dx = a·xⁿ⁺¹/(n+1) + C (salvo para n = −1, que da ln|x|). El teorema fundamental del cálculo conecta ambas operaciones y permite calcular áreas hallando antiderivadas.