Los números primos son los "átomos" de la aritmética: todo número entero se construye multiplicándolos. Son clave en criptografía (HTTPS, mensajes cifrados), en computación y en muchas áreas de la matemática pura. En esta guía vamos a ver qué son, cómo encontrarlos y cómo factorizarlos.
¿Qué es un número primo
Un número primo es un número natural mayor que 1 que solo tiene dos divisores: el 1 y sí mismo. Por ejemplo, 7 es primo porque solo lo dividen 1 y 7.
- Primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...
- No primos (compuestos): 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18...
- Casos especiales: 1 no es primo. 2 es el único primo par.
Cómo identificar números primos
Para saber si un número n es primo, probás dividirlo por todos los primos menores o iguales que la raíz cuadrada de n. Si ninguno lo divide exactamente, es primo.
¿Es primo el 23?
Raiz(23) = 4,79. Probamos primos hasta 4,79: 2 y 3. 23 / 2 = 11 con resto 1 (no divide) 23 / 3 = 7 con resto 2 (no divide) Como ninguno lo divide, 23 es primo.¿Es primo el 21?
Raiz(21) = 4,58. Probamos primos: 2 y 3. 21 / 2 = 10 con resto 1 (no divide) 21 / 3 = 7 exacto (divide!) 21 = 3 x 7. Por lo tanto, 21 NO es primo.Criba de Eratóstenes
Es un método clásico para encontrar todos los primos menores que un número N. Funciona descartando los múltiplos:
- Escribí los números del 2 al N.
- Empezá por el 2 (primer primo). Tachá todos sus múltiplos (4, 6, 8, 10, ...).
- Ve al siguiente número no tachado (3). Tachá sus múltiplos (9, 12, 15, 18, ...).
- Repetí con el siguiente no tachado (5, 7, ...).
- Cuando llegues a un primo mayor que raiz(N), parate. Los que quedan sin tachar son primos.
Criba de Eratóstenes hasta 30
Lista: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 Con primo 2, tachar múltiplos: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 Con primo 3, tachar múltiplos: 9, 15, 21, 27 Con primo 5, tachar múltiplos: 25 Raiz(30) = 5,48, entonces ya llegamos Primos hasta 30: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29Descomposición en factores primos
Todo número compuesto se puede escribir como producto de primos. Esto se llama descomposición (o factorización) en factores primos.
Factorizar 60
60 / 2 = 30 30 / 2 = 15 15 / 3 = 5 5 / 5 = 1 60 = 2^2 x 3 x 5 = 4 x 3 x 5 = 60 Verificación: 4 x 3 = 12, 12 x 5 = 60. ¡Correcto!Factorizar 84
84 / 2 = 42 42 / 2 = 21 21 / 3 = 7 7 / 7 = 1 84 = 2^2 x 3 x 7Propiedades de los primos
- Infinitos: hay infinitos números primos (lo demostró Euclides).
- Densidad: los primos se hacen más raros conforme los números crecen, pero nunca se agotan.
- Unicidad: cada número tiene UNA sola descomposición en factores primos (Teorema Fundamental de la Aritmética).
- 2 es único: es el único primo par. Todos los demás son impares.
- Fórmula cerrada: no existe una fórmula simple que genere solo primos.
Aplicaciones de los primos
Criptografía RSA
La seguridad de HTTPS, mensajes cifrados y bitcoin se basa en que multiplicar dos primos grandes es fácil, pero factorizar el resultado es dificilísimo sin conocer los primos originales. Por ejemplo, factorizar el número de 600 dígitos que se usa en RSA lleva miles de años incluso con la mejor computadora.
MCD y MCM
Los primos permiten calcular el MCD (máximo común divisor) y MCM (mínimo común múltiplo) eficientemente. Por ejemplo:
MCD usando primos
MCD de 60 y 84 60 = 2^2 x 3 x 5 84 = 2^2 x 3 x 7 Tomar el mínimo exponente de cada primo común: MCD = 2^2 x 3 = 12Fracciones irreducibles
Para simplificar una fracción, factorizás numerador y denominador y cancelás los factores comunes.
Errores comunes
- Olvidar que 1 no es primo: es un error clásico de libros viejos. Hoy no se considera primo.
- Olvidar que 2 SÍ es primo: muchos piensan que por ser par, 2 no es primo. Es el único primo par.
- Olvidar factores repetidos: 12 = 2^2 x 3 (no 2 x 3). Hay que poner los exponentes.
- Confundir primo con impar: 9, 15, 21, 25, 27 son impares pero NO primos.
Resumen
Un primo tiene solo dos divisores: 1 y sí mismo. Para identificarlos, probás dividir por primos hasta raiz(n). Para factorizar, dividís por primos sucesivamente. Los primos son la base de la criptografía moderna.