La derivada es uno de los conceptos centrales del cálculo. Sirve para estudiar cómo cambia una función, encontrar máximos y mínimos, calcular velocidades y resolver problemas de optimización. En esta guía vas a ver la idea intuitiva, las reglas básicas y muchos ejemplos resueltos.
¿Qué es la derivada?
La derivada de una función en un punto mide qué tan rápido cambia la función ahí. Geométricamente, representa la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Si la curva sube rápido, la derivada es grande y positiva; si baja, es negativa; si está plana, es cero.
f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)] / h
La fórmula con el límite es la definición formal, pero en la práctica casi nunca se usa: existen reglas que permiten derivar directamente casi cualquier función. La más importante es la regla de la potencia.
Regla de la potencia
Es la regla que más vas a usar. Para derivar un término a·xⁿ, bajás el exponente como nuevo coeficiente y le restás 1 al exponente.
(a·xⁿ)' = a·n·xⁿ⁻¹
Aplicar la regla de la potencia
(3x⁴)' = 3·4·x³ = 12x³ (5x²)' = 5·2·x¹ = 10x (7x)' = 7·x⁰ = 7 (4)' = 0 (constante) (x⁻²)' = −2·x⁻³ = −2/x³Derivada de una suma o resta
La derivación es lineal: la derivada de una suma es la suma de las derivadas, y lo mismo con la resta. Cada término se deriva por separado.
(f + g)' = f' + g' (f − g)' = f' − g'
Derivar un polinomio completo
f(x) = 3x⁴ − 2x³ + 5x − 7 Derivamos término a término: (3x⁴)' = 12x³ (−2x³)' = −6x² (5x)' = 5 (−7)' = 0 f'(x) = 12x³ − 6x² + 5Regla del producto
Para derivar el producto de dos funciones se usa una regla especial que dice: la derivada del primer por el segundo sin derivar, más el primero sin derivar por la derivada del segundo.
(f·g)' = f'·g + f·g'
Derivar un producto
f(x) = x²·(3x + 1) Identificamos: u = x² y v = 3x + 1 u' = 2x v' = 3 (u·v)' = u'·v + u·v' = 2x·(3x + 1) + x²·3 = 6x² + 2x + 3x² = 9x² + 2xRegla del cociente
Para derivar un cociente f/g se usa una fórmula similar: la derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, todo dividido por el denominador al cuadrado.
(f/g)' = (f'·g − f·g') / g²
Derivar un cociente
f(x) = x² / (x + 1) u = x², v = x + 1 u' = 2x v' = 1 (u/v)' = (2x·(x+1) − x²·1) / (x+1)² = (2x² + 2x − x²) / (x+1)² = (x² + 2x) / (x+1)²Regla de la cadena
La regla de la cadena permite derivar funciones compuestas, es decir, una función dentro de otra. Es probablemente la regla más útil y la que más se usa en problemas reales.
(f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x)
En palabras: derivás la función "de afuera" dejando adentro intacta, y después multiplicás por la derivada de la función "de adentro".
Aplicar la regla de la cadena
f(x) = (3x + 1)⁴ Función de afuera: (algo)⁴ → derivada: 4·(algo)³ Función de adentro: 3x + 1 → derivada: 3 f'(x) = 4·(3x + 1)³ · 3 = 12·(3x + 1)³Derivadas de funciones conocidas
| Función | Derivada | Comentario |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | Las constantes no cambian |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ | Regla de la potencia |
| eˣ | eˣ | La exponencial deriva a sí misma |
| aˣ | aˣ·ln(a) | Exponencial de base a |
| ln(x) | 1/x | Logaritmo natural |
| sen(x) | cos(x) | Trigonométrica |
| cos(x) | −sen(x) | Ojo con el signo |
| tan(x) | 1/cos²(x) | Identidad trigonométrica |
Interpretación geométrica de la derivada
La derivada f'(a) es la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto x = a. Esa recta es la mejor aproximación lineal a la curva en ese punto. Su ecuación es:
y − f(a) = f'(a) · (x − a)
Cuando la derivada es positiva la función crece; cuando es negativa, decrece; y donde se anula hay un máximo, un mínimo o un punto de inflexión.
Aplicaciones de la derivada
- Velocidad: si la posición de un móvil es s(t), su velocidad es s'(t) y su aceleración, s''(t).
- Máximos y mínimos: donde f'(x) = 0 hay un candidato a extremo. Si f'' > 0 es mínimo; si f'' < 0 es máximo.
- Optimización: maximizar ganancia, minimizar costo, hallar el área máxima de un rectángulo con perímetro fijo.
- Tasa marginal: en economía, el costo marginal es la derivada del costo total.
- Aproximación: para valores cercanos a a, f(x) ≈ f(a) + f'(a)·(x − a) (recta tangente).
Las derivadas están en todas partes
Cada vez que una magnitud cambia con respecto a otra (posición con el tiempo, costo con la cantidad, temperatura con la profundidad), hay una derivada. Aprenderlas es aprender el lenguaje del cambio.
Errores comunes al derivar
- Olvidar la regla del producto y derivar factor por factor: (x²·x³)' NO es 2x·3x².
- Olvidar restar 1 al exponente en la regla de la potencia.
- Confundir (f·g)' con f'·g'. La regla del producto tiene dos términos.
- Olvidar multiplicar por la derivada interna en la regla de la cadena.
Ejercicios resueltos adicionales
Tres ejercicios más con los casos que más aparecen en parciales.
Ejercicio 1: Integral con raíz
∫ √x dx, escribiendo √x = x^(1/2). Regla de la potencia con n = 1/2: sube a 3/2 y divide por 3/2. ∫ x^(1/2) dx = x^(3/2)/(3/2) + C = (2/3)·x^(3/2) + C. Verificación derivando: d/dx[(2/3)x^(3/2)] = (2/3)·(3/2)·x^(1/2) = √x ✓Ejercicio 2: Definida con valor negativo de área con signo
∫₀^π sen(x) dx. Antiderivada: −cos(x). F(π) = −cos(π) = 1 y F(0) = −cos(0) = −1. Resultado: 1 − (−1) = 2. El área bajo media onda del seno vale exactamente 2.Ejercicio 3: Velocidad a posición
Un móvil tiene v(t) = 6t² − 4t m/s y arranca en s(0) = 10 m. s(t) = ∫ v(t)dt = 2t³ − 2t² + C. Con s(0) = 10: C = 10. s(t) = 2t³ − 2t² + 10. En t = 2 s: s = 16 − 8 + 10 = 18 m.Integración por partes: el siguiente paso
Cuando una integral no matchea ninguna fórmula inmediata ni se deja por sustitución, la herramienta siguiente es la integración por partes. Viene de la regla del producto de la derivada leída al revés:
∫ u·dv = u·v − ∫ v·du
La estrategia es elegir u como la parte que se simplifica al derivar (típicamente ln(x) o x) y dv como la parte que se integra fácil. Por ejemplo, ∫ x·eˣ dx se resuelve tomando u = x y dv = eˣdx, dando x·eˣ − eˣ + C. Es el método estándar para productos como x·sen(x), x·ln(x) o x²·eˣ.
Resumen
La derivada mide el cambio instantáneo de una función y representa la pendiente de la tangente. La regla fundamental es la de la potencia: (a·xⁿ)' = a·n·xⁿ⁻¹. La derivada de una suma es la suma de las derivadas. Para productos, cocientes y composiciones existen reglas específicas (producto, cociente y cadena). Las aplicaciones principales son el estudio del crecimiento de una función, la búsqueda de máximos y mínimos y el cálculo de velocidades.