Los logaritmos aparecen en 4° y 5° año de la secundaria y son fundamentales en la universidad. Aunque parecen raros al principio, son simplemente "la pregunta opuesta a la potencia". En esta guía vas a entender qué son, cómo se usan y cuáles son sus propiedades clave.
¿Qué es un logaritmo?
El logaritmo en base a de un número b es el exponente al que hay que elevar a para obtener b. En otras palabras, logₐ(b) = c significa que aᶜ = b.
logₐ(b) = c ⟺ aᶜ = b
Calcular logaritmos pensando en potencias
log₂(8) = 3 porque 2³ = 8 log₁₀(1000) = 3 porque 10³ = 1000 log₃(81) = 4 porque 3⁴ = 81 log₅(1) = 0 porque 5⁰ = 1 log₂(1/8) = −3 porque 2⁻³ = 1/8Logaritmos más usados
Hay dos bases que se usan tanto que tienen notación especial:
| Nombre | Notación | Base | Uso típico |
|---|---|---|---|
| Logaritmo decimal | log(x) o log₁₀(x) | 10 | Cálculos manuales, escala Richter, pH, decibelios |
| Logaritmo natural | ln(x) | e ≈ 2,718 | Cálculo, interés compuesto continuo, crecimiento |
| Logaritmo binario | log₂(x) | 2 | Informática, bits, algoritmos |
Propiedades fundamentales de los logaritmos
Estas cinco propiedades son las que se usan en casi todos los ejercicios. Conviene aprenderlas bien, porque son la clave para resolver ecuaciones logarítmicas y simplificar expresiones.
1. Logaritmo de un producto
El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos:
logₐ(x·y) = logₐ(x) + logₐ(y)
Producto como suma
log₂(8·4) = log₂(8) + log₂(4) = 3 + 2 = 5 Verificación: 8·4 = 32 = 2⁵ ✓2. Logaritmo de un cociente
El logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos:
logₐ(x/y) = logₐ(x) − logₐ(y)
Cociente como resta
log₃(81/3) = log₃(81) − log₃(3) = 4 − 1 = 3 Verificación: 81/3 = 27 = 3³ ✓3. Logaritmo de una potencia
El exponente "baja" como coeficiente del logaritmo:
logₐ(xⁿ) = n·logₐ(x)
Potencia como producto
log₂(8³) = 3·log₂(8) = 3·3 = 9 Verificación: 8³ = 512 = 2⁹ ✓4. Logaritmo de 1 y de la base
- logₐ(1) = 0 (porque a⁰ = 1)
- logₐ(a) = 1 (porque a¹ = a)
5. Cambio de base
Para calcular un logaritmo en cualquier base usando la calculadora (que solo tiene ln o log), se aplica:
logₐ(b) = ln(b) / ln(a) = log(b) / log(a)
Calcular log₃(20) con la calculadora
La calculadora no tiene log₃ directo. Aplicamos cambio de base: log₃(20) = ln(20) / ln(3) = 2,9957 / 1,0986 ≈ 2,727 Verificación: 3^2,727 ≈ 20 ✓Usar Calculadora de Logaritmos →
Ecuaciones logarítmicas
Las propiedades anteriores permiten resolver ecuaciones donde la incógnita está dentro o fuera del logaritmo. La estrategia general es: aplicar las propiedades para combinar los logaritmos en uno solo, y después pasar de la forma logarítmica a la forma exponencial.
Resolver log₂(x) + log₂(x−2) = 3
Aplicamos la propiedad del producto: log₂(x·(x−2)) = 3 Forma exponencial: x·(x−2) = 2³ = 8 Expandimos: x² − 2x = 8 Ecuación cuadrática: x² − 2x − 8 = 0 Resolvente: x = (2 ± √36) / 2 = (2 ± 6) / 2 x₁ = 4, x₂ = −2 Pero log₂(−2) no existe (no se puede log de negativo), descartamos x₂. Solución: x = 4Relación entre logaritmos y potencias
Logaritmos y potencias son operaciones inversas. Si partís de un número b, le aplicás logₐ y después elevás a con el resultado, volvés al número original:
a^(logₐ(b)) = b y logₐ(aⁿ) = n
Aplicaciones de los logaritmos
- Escala Richter: la magnitud de un terremoto es log₁₀ de la amplitud de la onda.
- pH: mide la acidez como −log₁₀ de la concentración de H⁺.
- Decibelios: el volumen del sonido se mide logarítmicamente.
- Interés compuesto continuo: el tiempo para duplicar capital es ln(2)/r.
- Informática: muchos algoritmos tienen complejidad logarítmica O(log n).
- Escala de pH, de Richter y de intensidad sonora: todas usan log porque los fenómenos varían en muchos órdenes de magnitud.
Los logaritmos son la herramienta del "crecimiento lento"
Cuando algo crece o cambia en órdenes de magnitud enormes (sonido, terremotos, poblaciones, átomos), los logaritmos permiten comprimir esos rangos a una escala legible. Por eso pH va de 0 a 14 y no de 1 a 10 millones.
Errores comunes con logaritmos
- Confundir log (base 10) con ln (base e). En cálculo siempre se usa ln.
- Olvidar que el argumento del logaritmo tiene que ser positivo.
- Pensar que log(a+b) = log(a) + log(b). NO es cierto: la suma de logaritmos es el log del PRODUCTO.
- Olvidar bajar el exponente como multiplicador en log(xⁿ).
Resumen
El logaritmo en base a de b es el exponente al que hay que elevar a para obtener b. Las bases más usadas son 10 (log decimal) y e (logaritmo natural, ln). Las cinco propiedades clave son: producto → suma, cociente → resta, potencia → multiplicación, log(1) = 0 y cambio de base. Con esas propiedades se simplifican expresiones y se resuelven ecuaciones logarítmicas. Los logaritmos aparecen en física (Richter, pH, decibelios), finanzas (interés continuo) e informática (complejidad de algoritmos).