Las ecuaciones de segundo grado (o cuadráticas) aparecen en problemas de geometría (áreas), física (tiro parabólico) y optimización. A diferencia de las de primer grado, pueden tener 0, 1 o 2 soluciones. En esta guía vamos a ver la fórmula general (Bhaskara), el método de factorización y cómo analizar el discriminante.
¿Qué es una ecuación de segundo grado
Una ecuación cuadrática con una incógnita tiene la forma general:
ax^2 + bx + c = 0
Donde a, b, c son números reales y a es distinto de cero (si a=0 sería de primer grado). Se llama de segundo grado porque la incógnita x aparece elevada al cuadrado.
- x^2 - 5x + 6 = 0 -> a=1, b=-5, c=6
- 2x^2 + 3x - 2 = 0 -> a=2, b=3, c=-2
- x^2 - 9 = 0 -> a=1, b=0, c=-9 (b incompleta)
- x^2 + 4x = 0 -> a=1, b=4, c=0 (c incompleta)
La fórmula resolvente (Bhaskara)
Toda ecuación de segundo grado ax^2 + bx + c = 0 se puede resolver con la fórmula general, también llamada fórmula de Bhaskara:
x = (-b +- raiz(b^2 - 4ac)) / (2a)
Esta fórmula te da siempre las dos soluciones (si existen) de cualquier ecuación cuadrática. Solo necesitás identificar a, b, c y reemplazar.
Cómo aplicar la fórmula paso a paso
- Identificá los coeficientes a, b, c reescribiendo la ecuación en forma general.
- Calculá el discriminante: D = b^2 - 4ac.
- Calculá las dos soluciones x1 y x2 con la fórmula.
- Simplificá las raíces si es posible.
Resolver x^2 - 5x + 6 = 0
Coeficientes: a=1, b=-5, c=6 Discriminante: D = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 Fórmula: x = (5 +- raiz(1)) / (2) x1 = (5 + 1) / 2 = 6/2 = 3 x2 = (5 - 1) / 2 = 4/2 = 2 Soluciones: x1 = 3, x2 = 2 Verificación x=2: (2)^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0. ¡Correcto! Verificación x=3: (3)^2 - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0. ¡Correcto!Resolver 2x^2 + 3x - 2 = 0
Coeficientes: a=2, b=3, c=-2 Discriminante: D = 3^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 Fórmula: x = (-3 +- raiz(25)) / (4) x1 = (-3 + 5) / 4 = 2/4 = 1/2 x2 = (-3 - 5) / 4 = -8/4 = -2 Soluciones: x1 = 1/2, x2 = -2El discriminante
El discriminante D = b^2 - 4ac te dice cuántas soluciones tiene la ecuación antes de calcularlas:
| Discriminante | Número de soluciones | Tipo de raíces |
|---|---|---|
| D > 0 | 2 soluciones distintas | Reales distintas |
| D = 0 | 1 solución (doble) | Real doble |
| D < 0 | 0 soluciones reales | Complejas conjugadas |
Analizar discriminantes
x^2 - 4x + 4 = 0 -> D = 16 - 16 = 0 -> 1 raíz doble x = 4/2 = 2 (única) x^2 + 1 = 0 -> D = 0 - 4 = -4 -> No hay raíces reales (raiz(-4) no es real, es compleja: 2i y -2i) x^2 - 7x + 10 = 0 -> D = 49 - 40 = 9 > 0 -> 2 raíces x = (7 +- 3) / 2 -> x1 = 5, x2 = 2Método de factorización
Cuando la ecuación se puede factorizar fácilmente, este método es más rápido que la fórmula general. Se basa en la propiedad del producto nulo:
Si A x B = 0, entonces A = 0 o B = 0
Factorizar y resolver x^2 - 5x + 6 = 0
Buscar dos números que multiplicados den 6 y sumados den -5 Números: -2 y -3 (porque -2 x -3 = 6 y -2 + -3 = -5) Factorizar: (x - 2)(x - 3) = 0 Aplicar producto nulo: x - 2 = 0 -> x = 2 x - 3 = 0 -> x = 3 Soluciones: x1 = 2, x2 = 3 (mismas que con la fórmula)Ecuación sin término independiente: x^2 - 9 = 0
Reescribir como diferencia de cuadrados: x^2 - 3^2 = 0 Factorizar: (x - 3)(x + 3) = 0 x - 3 = 0 -> x = 3 x + 3 = 0 -> x = -3 Soluciones: x1 = 3, x2 = -3Ecuación incompleta: x^2 + 4x = 0
Sacar factor común x: x(x + 4) = 0 x = 0 o x + 4 = 0 Soluciones: x1 = 0, x2 = -4Aplicaciones prácticas
Geometría: áreas
Área de un rectángulo
Un rectángulo tiene 4 cm más de largo que de ancho. Su área es 96 cm^2. Hallar las dimensiones. Sea x = ancho Largo = x + 4 Area = x(x + 4) = 96 x^2 + 4x - 96 = 0 Con fórmula: a=1, b=4, c=-96 D = 16 + 384 = 400, raiz(400) = 20 x = (-4 +- 20) / 2 x1 = 8 (válido), x2 = -12 (descartar: ancho negativo) Respuesta: ancho = 8 cm, largo = 12 cmFísica: tiro parabólico
La altura de un proyectil en función del tiempo sigue una parábola (ecuación cuadrática). El tiempo en que llega al suelo es una de las raíces.
Errores comunes
- Confundir signos de b y c: en x^2 - 5x + 6 = 0, b = -5 (no 5) y c = 6.
- Olvidar el 4ac: el discriminante es b^2 - 4ac, no b^2 - ac.
- Olvidar el +-: la fórmula da DOS soluciones, una con + y otra con -.
- Confundir a con su inverso: si a = 1/2, en el denominador es 2a = 1, no 2/a.
Resumen de cuadráticas
Toda ecuación ax^2 + bx + c = 0 tiene solución con la fórmula x = (-b +- raiz(b^2 - 4ac))/(2a). El discriminante D = b^2 - 4ac dice cuántas raíces hay: D>0 dos, D=0 una, D<0 ninguna real. Para casos simples, factorizar puede ser más rápido.