Las ecuaciones de primer grado son la base del álgebra. Aparecen en problemas de la vida diaria (repartir gastos, calcular tiempos, mezclas) y son el paso previo a las ecuaciones cuadráticas y a los sistemas. En esta guía vamos a aprender a resolverlas paso a paso, con ejercicios resueltos.
¿Qué es una ecuación
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticas que se cumple para ciertos valores de la incógnita. La incógnita es la letra (usualmente x) que representa el valor desconocido.
2x + 3 = 11
Esta ecuación dice: "¿Qué valor de x hace que 2 veces x más 3 sea igual a 11?". Resolver la ecuación significa encontrar ese valor.
¿Qué es una ecuación de primer grado
Una ecuación de primer grado (o lineal) con una incógnita tiene la forma:
ax + b = 0
Donde a y b son números (a distinto de cero) y x es la incógnita. Se llama de primer grado porque la incógnita está elevada a la potencia 1.
- 2x + 3 = 11 -> a=2, b=-8 (reordenando)
- 5x = 20 -> a=5, b=-20
- -3x + 6 = 0 -> a=-3, b=6
- x/2 + 1 = 4 -> a=1/2, b=-3
Principio de las igualdades
El principio fundamental para resolver ecuaciones: si hacés la misma operación en los dos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene.
- Podés SUMAR la misma cantidad a ambos lados
- Podés RESTAR la misma cantidad a ambos lados
- Podés MULTIPLICAR ambos lados por la misma cantidad (distinta de cero)
- Podés DIVIDIR ambos lados por la misma cantidad (distinta de cero)
Método general de resolución
El método tiene 4 pasos:
- Aislar los términos con x en un lado: pasar todos los términos con x a la izquierda y los números a la derecha.
- Simplificar: sumar términos semejantes en cada lado.
- Despejar x: dividir ambos lados por el coeficiente de x.
- Verificar: reemplazar el valor encontrado en la ecuación original.
Resolver 2x + 3 = 11
Paso 1: Restar 3 a ambos lados 2x + 3 - 3 = 11 - 3 2x = 8 Paso 2: Dividir ambos lados por 2 2x / 2 = 8 / 2 x = 4 Verificación: 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11. ¡Correcto!Resolver 5x - 7 = 2x + 8
Paso 1: Restar 2x en ambos lados (términos con x a la izquierda) 5x - 2x - 7 = 2x - 2x + 8 3x - 7 = 8 Paso 2: Sumar 7 en ambos lados (números a la derecha) 3x - 7 + 7 = 8 + 7 3x = 15 Paso 3: Dividir por 3 x = 5 Verificación: 5(5) - 7 = 25 - 7 = 18 y 2(5) + 8 = 10 + 8 = 18. ¡Correcto!Resolver con fracciones: x/3 + 1 = 5
Paso 1: Restar 1 x/3 = 4 Paso 2: Multiplicar por 3 x = 12 Verificación: 12/3 + 1 = 4 + 1 = 5. ¡Correcto!Ecuaciones con paréntesis
Cuando hay paréntesis, primero los resolvés aplicando la propiedad distributiva, y después procedés como antes.
Resolver 3(x + 2) = 15
Paso 1: Distribuir el 3 3x + 6 = 15 Paso 2: Restar 6 3x = 9 Paso 3: Dividir por 3 x = 3 Verificación: 3(3 + 2) = 3(5) = 15. ¡Correcto!Resolver 2(x - 1) + 3(x + 2) = 14
Paso 1: Distribuir 2x - 2 + 3x + 6 = 14 Paso 2: Reducir términos semejantes 5x + 4 = 14 Paso 3: Restar 4 5x = 10 Paso 4: Dividir por 5 x = 2 Verificación: 2(2-1) + 3(2+2) = 2(1) + 3(4) = 2 + 12 = 14. ¡Correcto!Casos especiales
Hay dos casos que no tienen una única solución:
Ecuación sin solución
Si después de simplificar llegás a algo como 0x = 5 (es decir, una afirmación falsa como 0 = 5), la ecuación NO TIENE solución.
Ecuación sin solución
Resolver 2x + 3 = 2x + 7 Restar 2x en ambos lados: 3 = 7 Esto es falso. No hay valor de x que lo cumpla. Respuesta: Sin solución (conjunto vacío)Ecuación con infinitas soluciones
Si llegás a algo como 0x = 0 (una afirmación verdadera sin incógnita), la ecuación tiene INFINITAS soluciones (todo número real es solución).
Infinitas soluciones
Resolver 3(x + 1) = 3x + 3 Distribuir: 3x + 3 = 3x + 3 Restar 3x: 3 = 3 Esto siempre es verdad, sin importar el valor de x. Respuesta: Infinitas soluciones (todos los reales)Problemas word problems con ecuaciones
Los problemas con palabras se resuelven traduciendo el texto a una ecuación.
Problema de edades
Juan tiene 5 años más que Pedro. Entre los dos suman 31 años. ¿Cuántos años tiene cada uno? Sea x = edad de Pedro Entonces Juan = x + 5 Ecuación: x + (x + 5) = 31 Resolver: 2x + 5 = 31 -> 2x = 26 -> x = 13 Respuesta: Pedro tiene 13 años y Juan tiene 18 añosProblema de mezcla
¿Cuánto azúcar al 20% hay que mezclar con 1 litro de jarabe puro (100%) para obtener 3 litros al 60%? Sea x = cantidad de azúcar al 20% Azúcar del primer jarabe: 0,20x Azúcar del jarabe puro: 1 litro Azúcar total: 0,20x + 1 Mezcla final: 3 litros al 60% = 1,8 litros de azúcar Ecuación: 0,20x + 1 = 1,8 0,20x = 0,8 x = 4 Respuesta: Hay que agregar 4 litros de jarabe al 20%Resumen del método
Para resolver ecuaciones de primer grado: 1) Quitá paréntesis con distributiva. 2) Pasá los términos con x a un lado y los números al otro. 3) Simplificá sumando términos semejantes. 4) Dividí por el coeficiente de x. 5) Verificá reemplazando en la ecuación original.