Calculadora de Progresiones Aritméticas y Geométricas
Calculá el término general, el término que quieras y la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética (PA) o geométrica (PG). Elegí el tipo, ingresá el primer término, la diferencia o razón y el número de término: obtenés el resultado con cada paso explicado y la clasificación de la sucesión.
Cómo funcionan las progresiones
Una progresión aritmética (PA) suma siempre la misma cantidad: cada término es el anterior más una diferencia fija d. Una progresión geométrica (PG) multiplica siempre por lo mismo: cada término es el anterior por una razón fija r. Por eso la PA crece de forma lineal y la PG de forma exponencial.
Progresión aritmética (PA)
aₙ = a₁ + (n−1)·d Sₙ = n·(a₁+aₙ)/2
- a₁ = primer término de la sucesión
- d = diferencia (lo que se suma en cada paso)
- aₙ = término que ocupa la posición n
- Sₙ = suma de los primeros n términos (el truco de Gauss: el primero más el último, por la cantidad de términos, dividido 2)
Se clasifica según d: si d > 0 es creciente, si d < 0 es decreciente y si d = 0 es constante. Ejemplo: 2, 5, 8, 11, … tiene a₁ = 2 y d = 3; el término 10 es a₁₀ = 2 + 9·3 = 29 y S₁₀ = 10·(2+29)/2 = 155.
Progresión geométrica (PG)
aₙ = a₁·rn−1 Sₙ = a₁·(rⁿ−1)/(r−1) (si r = 1: Sₙ = n·a₁)
- a₁ = primer término de la sucesión
- r = razón (por lo que se multiplica en cada paso)
- aₙ = término que ocupa la posición n
- Sₙ = suma de los primeros n términos; ojo con el caso especial r = 1, donde la fórmula divide por cero y se usa Sₙ = n·a₁
Se clasifica según r: si r > 1 es creciente, si 0 < r < 1 es decreciente, si r = 1 es constante y si r < 0 es alternante (cambia de signo en cada término). Ejemplo: 3, 6, 12, 24, … tiene a₁ = 3 y r = 2; el término 6 es a₆ = 3·2⁵ = 96 y S₆ = 3·(2⁶−1)/(2−1) = 189.
Preguntas frecuentes
¿Qué es una progresión aritmética (PA)?
Es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando una cantidad fija, llamada diferencia (d), al término anterior. Por ejemplo: 2, 5, 8, 11, 14, … es una PA con a₁ = 2 y d = 3. La característica clave es que la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera siempre da lo mismo. Ejemplos de la vida real: los asientos de un anfiteatro que aumentan de a 4 por fila, o el sueldo fijo que sube $10.000 por año de antigüedad.
¿Qué es una progresión geométrica (PG)?
Es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, llamada razón (r). Por ejemplo: 3, 6, 12, 24, 48, … es una PG con a₁ = 3 y r = 2. Acá el cociente entre términos consecutivos es constante, y el crecimiento es exponencial, no lineal. El interés compuesto, la reproducción de bacterias y la ley de Moore son progresiones geométricas.
¿Cuál es la fórmula del término general?
Para la PA es aₙ = a₁ + (n−1)·d: al primer término le sumo la diferencia (n−1) veces. Para la PG es aₙ = a₁·rn−1: multiplico el primer término por la razón (n−1) veces. Por ejemplo, en la PA 2, 5, 8, … el término 10 vale a₁₀ = 2 + (10−1)·3 = 29, y en la PG 3, 6, 12, … el término 6 vale a₆ = 3·2⁵ = 96.
¿Cuál es la fórmula de la suma de los primeros n términos?
En la PA se usa Sₙ = n·(a₁+aₙ)/2: la cantidad de términos por el promedio entre el primero y el último (el truco que usó Gauss de chico para sumar 1+2+…+100). En la PG se usa Sₙ = a₁·(rⁿ−1)/(r−1), con un caso especial: si r = 1 la fórmula divide por cero, pero como todos los términos valen a₁, la suma es simplemente Sₙ = n·a₁. Ejemplo: la suma de los primeros 10 términos de 1, 2, 4, 8, … es S₁₀ = (2¹⁰−1)/(2−1) = 1023.