Calculadora de Factorial Online (n!)
Ingresá un número entero entre 0 y 170 y obtené el valor exacto del factorial (todos los dígitos, sin aproximaciones), el desarrollo del producto y, de bonus, las combinaciones y variaciones de a 2.
🏆 Resultado
🧮 Desarrollo del producto
🎯 Bonus: elegir 2 elementos (C y V)
Cómo funciona el factorial
El factorial de n, que se escribe n!, es el producto de todos los números enteros desde 1 hasta n:
n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1
Por ejemplo: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24, y 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. También se puede definir de forma recursiva: n! = n × (n−1)!, partiendo de 1! = 1. Cada vez que n aumenta en 1, el resultado se multiplica por el nuevo n: por eso 6! = 6 × 5! = 6 × 120 = 720.
¿Por qué 0! = 1?
Es una convención, pero con respaldo de tres argumentos:
- El patrón descendente: cada factorial se obtiene dividiendo el siguiente por su número: 3! = 6, 2! = 6 ÷ 3 = 2, 1! = 2 ÷ 2 = 1 y 0! = 1 ÷ 1 = 1. Si 0! fuera otra cosa, la regla n! = n × (n−1)! se rompería en 1! = 1 × 0!.
- El producto vacío: en matemática, multiplicar "ningún factor" se define como 1 (el elemento neutro del producto). 0! no multiplica ningún número, así que vale 1.
- Combinatoria: n! cuenta las formas de ordenar n elementos. Hay exactamente una forma de ordenar cero elementos: no hacer nada. Por eso 0! = 1.
El crecimiento explosivo del factorial
El factorial crece más rápido que cualquier potencia o exponente fijo. Mirá lo que pasa en pocas pasos:
| n | n! | Dígitos |
|---|---|---|
| 5 | 120 | 3 |
| 10 | 3.628.800 | 7 |
| 15 | 1.307.674.368.000 | 13 |
| 20 | 2.432.902.008.176.640.000 | 19 |
| 52 | ≈ 8,07 × 1067 (las formas de mezclar un mazo de cartas) | 68 |
| 70 | ≈ 1,20 × 10100 (más que los átomos del universo observable) | 101 |
| 100 | ≈ 9,33 × 10157 | 158 |
| 170 | ≈ 7,26 × 10306 (el máximo de esta calculadora) | 307 |
¿Y por qué el límite de 170? Porque 170! ≈ 7,26 × 10306 es el último factorial que cabe en un número de coma flotante doble (el formato estándar, que llega hasta ~1,80 × 10308): 171! lo supera y las calculadoras comunes muestran "Infinity". Esta calculadora usa BigInt, así que el valor que ves siempre es exacto, dígito por dígito, nunca una aproximación.
Preguntas frecuentes
¿Qué es el factorial de un número?
El factorial de un número entero positivo n, que se escribe n!, es el producto de todos los enteros desde 1 hasta n. Por ejemplo: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 y 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. También se define de manera recursiva: n! = n × (n−1)!, partiendo de 1! = 1. El factorial solo está definido para enteros no negativos (para otros valores existe una generalización llamada función Gamma).
¿Por qué 0! es igual a 1?
Por convención, pero con razones sólidas. Primero, el patrón: cada factorial se obtiene dividiendo el siguiente por su número (3! = 6, 2! = 6 ÷ 3 = 2, 1! = 2 ÷ 2 = 1, 0! = 1 ÷ 1 = 1); si 0! valiera otra cosa, la regla n! = n × (n−1)! fallaría en 1!. Segundo, el producto vacío: multiplicar ningún factor se define como 1, igual que sumar ningún término da 0. Y tercero, en combinatoria hay exactamente una forma de ordenar cero elementos, así que 0! = 1.
¿Para qué sirve el factorial?
Es la herramienta central de la combinatoria: n! cuenta las permutaciones (las formas de ordenar n elementos) y aparece en las fórmulas de variaciones (n!/(n−r)!) y combinaciones (n!/(r!(n−r)!)). Se usa en probabilidad (cálculo de ordenamientos, loterías, repartos), en el binomio de Newton, en las series de Taylor y en informática, donde mide el costo de los algoritmos que generan todas las permutaciones y es base de análisis de fuerza bruta en criptografía.
¿Cuánto es 100 factorial (100!)?
100! es un número de 158 dígitos, aproximadamente 9,33 × 10157. Su valor exacto es: 93.326.215.443.944.152.681.699.238.856.266.700.490.715.968.264.381.621.468.592.963.895.217.599.999.322.991.608.941.463.976.156.518.286.253.697.920.827.223.758.251.185.210.916.864.000.000.000.000.000.000.000.000. Podés verificarlo con la calculadora de arriba: botón 100 y listo.