Calculadora de Determinante 2x2 y 3x3
Calculá online el determinante de una matriz cuadrada de 2x2 o 3x3 con el desarrollo paso a paso: la fórmula a·d − b·c para matrices 2x2 y la regla de Sarrus para matrices 3x3. Gratis y sin registro.
det(A) = a₁₁·a₂₂·a₃₃ + a₁₂·a₂₃·a₃₁ + a₁₃·a₂₁·a₃₂ − a₁₃·a₂₂·a₃₁ − a₁₁·a₂₃·a₃₂ − a₁₂·a₂₁·a₃₃ (3x3)
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Cómo funciona
El determinante es un número que se asocia a toda matriz cuadrada. Esta calculadora usa el método directo para matrices 2x2 y la regla de Sarrus para matrices 3x3, mostrando todos los productos que se suman y se restan.
Matriz 2x2: fórmula directa
El determinante de una matriz 2x2 es el producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria:
Es decir, se multiplican los elementos que van de esquina a esquina: primero los de la diagonal que baja y se les resta el producto de la diagonal que sube.
Matriz 3x3: regla de Sarrus
Para una matriz 3x3 se copian las dos primeras columnas a la derecha de la matriz y se calculan 6 productos de diagonales:
- Se suman los 3 productos de las diagonales que descienden (de izquierda a derecha): a₁₁·a₂₂·a₃₃, a₁₂·a₂₃·a₃₁ y a₁₃·a₂₁·a₃₂.
- Se restan los 3 productos de las diagonales que ascienden: a₃₁·a₂₂·a₁₃, a₃₂·a₂₃·a₁₁ y a₃₃·a₂₁·a₁₂.
- El determinante es la suma total de los 6 productos con sus signos.
Si el resultado es 0, la matriz es singular (no invertible): sus filas o columnas son linealmente dependientes. Si es distinto de 0, la matriz tiene inversa.
Preguntas frecuentes
¿Qué es el determinante de una matriz?
Es un número que se le asigna a toda matriz cuadrada (con igual cantidad de filas que de columnas). Para una matriz 2x2 se calcula como det(A) = a·d − b·c y para una 3x3 con la regla de Sarrus. Resume en un solo valor información clave de la matriz: si es invertible, si sus filas son independientes y cómo transforma el espacio.
¿Cuándo el determinante da 0?
Cuando las filas o columnas de la matriz son linealmente dependientes, es decir, cuando una fila es combinación de las demás. Una matriz con determinante 0 se llama singular: no tiene matriz inversa y, si representa un sistema de ecuaciones, ese sistema no tiene solución única. En el cálculo con Sarrus se nota en que los productos que se suman se cancelan exactamente con los que se restan.
¿Qué significa geométricamente el determinante?
Es el factor de escala de las áreas en el plano (matrices 2x2) o de los volúmenes en el espacio (matrices 3x3). Por ejemplo, un determinante igual a 2 significa que la transformación duplica el área; si es 0,5, la reduce a la mitad. Si el determinante es 0, la transformación aplasta todo el plano o el espacio en una dimensión menor. El signo indica si se invierte la orientación.
¿Para qué sirve el determinante?
Tiene muchísimas aplicaciones: saber si una matriz es invertible, resolver sistemas de ecuaciones con la regla de Cramer, calcular áreas de triángulos y paralelogramos, volúmenes de paralelepípedos, verificar si un conjunto de vectores es linealmente independiente y cambiar variables en integrales múltiples (matriz jacobiana), entre otros usos.